Comprendre les identités remarquables : a3+b3

Teddy - Dernière modification 31/05/2024

Identités remarquables a3+b3
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Introduction aux identités remarquables 🔜

Ces équations, qui simplifient certains calculs mathématiques, s’expriment par des produits ou des sommes et sont souvent utilisées pour factoriser ou développer des expressions. Elles servent de base pour de nombreuses pratiques en maths et en sciences. 👨‍🏫👩‍🏫

 

Aujourd’hui, après avoir appris à maîtriser l’identité remarquable au cube, nous allons apprendre à factoriser la somme de deux cubes, (a^3 + b^3). Cette formule simplifie de nombreux calculs et vous aidera à résoudre des équations plus efficacement. ✅ Elle est essentielle pour les lycéens, les étudiants en classes préparatoires, et ceux suivant des études supérieures en sciences et ingénierie.

Définition et énoncé de la formule ✍️

Commençons par énoncer cette identité remarquable : [a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)]

 

Essayons de regarder au plus près chaque composant de cette formule : (a) et (b) sont des variables ou des nombres, (a^3) et (b^3) sont leurs cubes, et l’expression (a + b)(a^2 – ab + b^2) est le produit de deux termes spécifiques.

Pourquoi cette identité remarquable est-elle utile ? 🤔

Les identités remarquables comme la formule (a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) sont essentielles car elles nous permettent de factoriser des expressions mathématiques en un produit de termes plus simples. Cela rend les calculs plus rapides et les équations plus faciles à résoudre.

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Les outils pour apprendre à maîtriser les identités remarquables 💻

  1. Cours de Mathématiques : Suivre des cours structurés, en ligne sur Wooskill, ou en présentiel, que vous soyez au collège, lycée ou dans le cadre de classes préparatoires, DUT, ou grandes écoles, vous permettra de comprendre ou développer vos compétences des identités remarquables et leur application.

 

  1. Livres de Mathématiques : Utiliser des manuels spécialisés avec des explications détaillées, des exemples, et des exercices pour maîtriser chaque identité.

 

  1. Calculatrices Graphiques : Utiliser des calculatrices capables de résoudre des équations et de factoriser des polynômes pour vérifier vos résultats et ainsi comprendre vos calculs.

 

  1. Groupes d’Étude : Certains établissements mettent en place des des groupes d’étude où vous pouvez discuter des méthodes de résolution, partager des avis, et s’entraider avec vos camarades.

 

  1. Professeurs et Tuteurs : Solliciter l’aide de professeurs ou de tuteurs pour des explications personnalisées et des réponses à vos questions spécifiques.

 

Fiches de Révision : Créer des fiches de révision résumant les principales identités remarquables, leurs propriétés, et des exemples d’utilisation pour vous familiariser à son utilisation.

Démonstration de la formule ⬇️

Voyons pourquoi cette formule fonctionne. Considérons le développement de (a + b)(a^2 – ab + b^2). En utilisant la distributivité, nous avons :

 

(a + b)(a^2 – ab + b^2) = a(a^2 – ab + b^2) + b(a^2 – ab + b^2)

 

Développons chaque terme : 

 

a(a^2 – ab + b^2) = a^3 – a^2b + ab^2

 

b(a^2 – ab + b^2) = a^2b – ab^2 + b^3

 

En combinant ces résultats, nous obtenons :

 

a^3 – a^2b + ab^2 + a^2b – ab^2 + b^3 = a^3 + b^3

 

Ainsi, nous avons montré que (a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3.

Exemples 📊

Prenons un exemple avec des nombres pour illustrer cette formule. Soit (a = 2) et (b = 3), alors : a^3 + b^3 = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35

 

Utilisons la formule :

 

(2 + 3)(2^2 – 2 x 3 + 3^2) = 5(4 – 6 + 9) = 5 x 7 = 35

 

Nous voyons que la formule est correcte.

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Exercices corrections 👀

  1. Factorisez (27 + 64).
  2. Factorisez (8 + 125).
  3. Factorisez (1 + 343).

 

Solutions :

 

  1. (27 + 64 = 3^3 + 4^3 = (3 + 4)(3^2 – 3 x 4 + 4^2) = 7(9 – 12 + 16) = 7 x 13 = 91)
  2. (8 + 125 = 2^3 + 5^3 = (2 + 5)(2^2 – 2 x 5 + 5^2) = 7(4 – 10 + 25) = 7 x 19 = 133)
  3. (1 + 343 = 1^3 + 7^3 = (1 + 7)(1^2 – 1 x 7 + 7^2) = 8(1 – 7 + 49) = 8 x 43 = 344)

Les erreurs à éviter lors de l’utilisation de a3+b3 ❌

Lors de l’utilisation des identités remarquables, comme pour a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2), il est important de s’assurer de la précision de ses calculs mathématiques. 

 

  • 1️⃣ : Vérifiez l’exactitude des nombres et des expressions avant de les insérer dans la formule, car une simple erreur dans les coefficients ou les termes peut entraîner des égalités incorrectes.

 

  • 2️⃣ : Assurez-vous que l’écriture de l’expression est conforme à la formule, car confondre cette identité remarquable avec une autre entraînera aussi des résultats incorrects.

 

  • 3️⃣: N’oubliez pas les termes de second degré qui peuvent fausser toute l’expression.

Conclusion 🔚

Nous avons exploré la formule pour factoriser la somme de deux cubes, (a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2). Cette identité remarquable simplifie les expressions cubiques et est un outil essentiel en algèbre. Il est important de continuer à pratiquer pour maîtriser les identités remarquables et ne pas hésiter à faire appel à un professeur de mathématiques 👨‍🏫👩‍🏫 pour vous venir en aide, comme le propose la plateforme Wooskill.

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