Maîtriser les bases de la racine carrée en 3 minutes

En mathématiques élémentaires, cette expression, que l’on note √x ou x1/2, est utilisée pour résoudre des équations polynomiales du second degré. Essentielle à la bonne pratique des maths, notamment en géométrie, vous êtes au bon endroit afin de savoir comment utiliser la racine carrée en seulement quelques minutes grâce à nos explications et exercices. 

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La définition simple est la suivante : la racine carrée d’un nombre est un autre nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre d’origine. Par exemple, la racine carrée de 9 est notée √9 = 3. En notation mathématique, le symbole √ représente la racine carrée, en code informatique, on utilise “sqrt” pour exprimer cette opération.

La racine carrée d’un nombre positif a toujours une valeur positive ou nulle. 

Les propriétés des racines carrées incluent des règles comme √a x b = √a x √b. Ces propriétés sont essentielles pour simplifier les calculs et les expressions mathématiques. 

Par exemple, dans le théorème de Pythagore, la longueur de l’hypoténuse d’un triangle droit est trouvée en calculant la racine carrée de la somme des carrés des autres côtés. 

Pour des nombres négatifs, la racine carrée fait intervenir les nombres imaginaires, notés i, où i = √-1. Apprendre à maîtriser ces concepts et méthodes, y compris l’utilisation d’une calculatrice, est essentiel pour résoudre des équations et problèmes en mathématiques.

Les racines carrées étaient utilisées par les Babyloniens dès 2000 av. J.-C., qui employaient des méthodes d’approximation pour calculer la racine carrée de différents nombres. Au fil des siècles, les mathématiciens grecs, indiens et arabes ont affiné ces méthodes et développé des notations plus sophistiquées, notamment le symbole √ ou​ “sqrt” que nous utilisons aujourd’hui.

Calculer la racine carrée peut se faire de plusieurs manières. La méthode manuelle de l’approximation successive consiste à deviner un nombre, le multiplier par lui-même et ajuster progressivement jusqu’à ce que le produit soit aussi proche que possible du nombre d’origine. 

Par exemple, pour trouver √10, vous pourriez commencer par 3 car 3 x 3 = 9, puis ajuster à 3.1, 3.16, etc., jusqu’à obtenir une approximation satisfaisante. 

Utiliser une calculatrice simplifie grandement cette technique. Il suffit d’entrer le nombre et d’appuyer sur la fonction  √  pour obtenir la racine carrée instantanément.

Les propriétés des racines carrées sont importantes car elles permettent de simplifier de nombreux calculs. Une propriété clé est que la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées : √a x b = √a x √b. Cela signifie que pour tout nombre positif a et b, vous pouvez décomposer le produit en facteurs plus simples. 

De même, la racine carrée d’un quotient suit la même règle : √a : b = √a : √b. 

Cependant, les racines carrées des nombres négatifs introduisent un concept plus avancé, les nombres imaginaires. Puisque la racine carrée d’un nombre négatif n’a pas de solution dans les nombres réels, nous utilisons l’unité imaginaire “i”, définie par √-1} = i. 

Par exemple, √-9} = 3i.

Pour vous aider à maîtriser les racines carrées, nous proposons quelques exercices pratiques. 

Commençons par un exercice résolu : trouvez la racine carrée de 144. 

La racine carrée de 144 est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144. En utilisant la fonction √ sur votre calculatrice ou en connaissant vos tables de multiplication, vous trouverez que √144 = 12. 

Passons à un autre exercice : calculez la diagonale d’un carré dont chaque côté mesure 5 cm. 

Utilisez la formule du théorème de Pythagore : diagonale = √5^2 + 5^2 = √25 + 25 = √50 = 5√2 ≈ 7.07 cm. 

Maintenant, quelques exercices pour vous : 

1. Trouvez la racine carrée de 81. 
2. Utilisez la méthode d’approximation pour √20. 

Correction des exercices

Trouvez la racine carrée de 81 

La racine carrée de 81 est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81. En utilisant la fonction √ sur une calculatrice ou en sachant que 9 x 9 = 81, nous trouvons : √81 = 9 

Utilisez la méthode d’approximation pour √20 :

Commençons par estimer √20. Nous savons que √16 = 4 et √25 = 5, donc √20 est entre 4 et 5. 

Essayons avec une approximation initiale de 4.5 : 4.5 x 4.5 = 20.25 

20.25 étant un peu plus grand que 20, essayons une valeur plus petite, comme 4.4 : 4.4 x 4.4 = 19.36 

19.36 est un peu plus petit que 20, donc continuons à raffiner : 4.45 x 4.45 = 19.8025

19.8025 est encore un peu plus petit que 20. Essayons avec 4.47 : 4.47 x 4.47 = 19.9809

Donc, la bonne approximation de √20 ≈ 4.47.

Résumé des réponses

1. √81 = 9
2. √20 ≈ 4.47

Nous avons vu comment calculer les racines carrées manuellement et à l’aide d’une calculatrice, ainsi que l’application de méthodes d’approximation comme celle de Newton-Raphson. Les propriétés clés, telles que la racine carrée d’un produit et d’un quotient. 

Souvenez-vous que les racines carrées des nombres négatifs introduisent les nombres imaginaires. Pour progresser, je vous encourage à pratiquer régulièrement, à résoudre des exercices variés et à poser des questions en commentaire pour approfondir vos connaissances.