Quelles sont les 3 identités remarquables et comment les utiliser ?

Apprenez à maîtriser ces formules mathématiques qui vous serviront à gagner du temps ⏱️ lors de vos calculs. Grâce aux 3 identités remarquables, simplifier certaines écritures mathématiques ou encore factoriser et développer des expressions.

Les identités remarquables sont des formules mathématiques qui facilitent la simplification des expressions algébriques. Elles permettent de développer ou de factoriser des polynômes de manière simplifiée.

Les trois principales que l’on aborde généralement dans les cours de mathématiques sont : (a + b)^2 ; (a – b)^2 ; et a^2 – b^2. Ces dernières sont essentielles pour travailler avec des fonctions, en particulier lorsqu’il s’agit d’une somme, différence ou d’un produit. ✅

Cet article détaillera chacune de ces identités remarquables, démontrera leur propriété algébrique, ainsi que des exercices pour illustrer leur utilisation. N’hésitez pas à consulter nos offres de cours de soutien scolaire afin de progresser aux côtés d’un professeur. 👩‍🏫

• Définition 

Elle permet de développer et de simplifier des calculs. En la décomposant, on observe que (a + b)^2 représente la somme de deux inconnus élevés au carré, ce qui se traduit par l’addition du carré de a^2, du double produit de 2ab, et du carré du second terme b^2. 

• Démonstration

Pour démontrer les identités remarquables, il faut considérer leur expression. Dans ce premier cas, (a + b) x (a + b). En appliquant la distributivité, nous obtenons a(a + b) + b(a + b). 

En développant, nous trouvons a^2 + ab + ab + b^2. 

En regroupant les termes similaires, cela donne a^2 + 2ab + b^2, confirmant ainsi l’égalité (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 

• Applications

Elle est extrêmement utile pour développer ou simplifier des formulations de maths et donc résoudre des problèmes.

Par exemple, pour (3 + 4)^2, nous pouvons utiliser : 3^2 + 2 x 3 x 4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49.

– Exercice 1 : Développer (x+5)2

Pour développer (x+5)2, nous utilisons (a+b)2 = a2+2ab+b2

1. Formule : (x+5)2

2. Identifier a et b. Ici, a = x et b = 5.

3. Appliquer la formule (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

4.  (x+5)2 = x2 + 2⋅x⋅5 +5^2

5. Calculer :  x2 + 2 x 5x + 25

6. Résultat : (x+5)2 = x2 + 10x + 25

Exercice 2 : Factoriser x2 + 6x + 9

Nous reconnaissons qu’il s’agit de la forme développée de (a+b)2.

1. Formule : x2 + 6x + 9

2. Identifier a2, 2ab, et b2. Ici, a2 = x2, 2ab = 6x, et b2 = 9.

3. Trouver a et b en comparant avec l’énoncé : a = x et b = 3

4. Utiliser la formule inverse (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.

5.  x2 + 6x + 9 = (x+3)2

• Définition

Elle permet de simplifier une expression où une différence est élevée au carré. En décomposant cette formule, on observe que (a – b)^2 se traduit par le carré de a^2, moins le double produit des deux inconnus 2ab, et plus le carré du second terme b^2.

• Démonstration

Pour démontrer cette identité, considérons (a – b) x (a – b).

En appliquant la distributivité, nous obtenons a(a – b) – b(a – b).

En développant, nous trouvons a^2 – ab – ab + b^2.

En regroupant les termes similaires, cela donne a^2 – 2ab + b^2, confirmant ainsi l’égalité (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.

• Applications

Cette identité remarquable est particulièrement utile dans les cours de mathématiques pour simplifier des énoncés et résoudre des équations. Par exemple, pour développer (x – 4)^2, nous utilisons la formulation : x^2 – 2 (fois) x (fois) 4 + 4^2 = x^2 – 8x + 16.

De même, pour factoriser une expression comme x^2 – 10x + 25, nous reconnaissons qu’elle peut être écrite sous la forme (x – 5)^2.

Exercice 1 : Développer (y – 3)^2

Pour développer (y – 3)^2, nous utilisons (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.

1. Formule : (y – 3)^2
2. Identifier a et b. Ici, a = y et b = 3.
3. Appliquer la formule (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.
4. (y – 3)^2 = y^2 – 2 (fois) y (fois) 3 + 3^2
5. Calculer : y^2 – 6y + 9
6. Résultat : (y – 3)^2 = y^2 – 6y + 9

Exercice 2 : Factoriser y^2 – 6y + 9

Nous reconnaissons qu’il s’agit de (a – b)^2.

1. Formule : y^2 – 6y + 9
2. Identifier a^2, 2ab, et b^2. Ici, a^2 = y^2, 2ab = -6y, et b^2 = 9.
3. Trouver a et b en comparant avec l’énoncé : a = y et b = 3
4. Utiliser la formule inverse (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.

   y^2 – 6y + 9 = (y – 3)^2 

• Définition

Elle permet de factoriser la différence de deux carrés en un produit de deux binômes. En décomposant la formule, on observe que a^2 – b^2 représente la soustraction de deux termes élevés au carré. Elle indique que cette dernière peut être réécrite comme le produit de la somme (a + b) et de la différence (a – b) des deux inconnus.

Dans le cadre des cours de maths, la compréhension de cette propriété permet de développer des compétences en factorisant et en simplifiant des expressions de degré deux.

Formule : a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)

Explication : En appliquant la distributivité, on obtient (a + b)(a – b) = a^2 – ab + ab – b^2. Par conséquent -ab et +ab s’annulent, laissant a^2 – b^2. 

Cette équation est fondamentale pour faciliter la résolution des équations quadratiques, et la compréhension des fonctions. Des exemples permettre de factoriser des énoncés comme x^2 – 16 en (x + 4)(x – 4), ou les simplifier pour trouver des solutions réelles et entières.

•  Démonstration

Pour démontrer cette identité, nous allons développer (a+b)(a−b).

1. Étape 1 : Écrire l’expression à développer.
   (a+b) (a−b)
2. Étape 2 : Appliquer la distributivité.
   (a+b) (a−b) = a(a – b) + b(a – b)
3. Étape 3 : Distribuer
   = a2 − ab + ab − b2
4. Étape 4 : Regrouper les termes semblables.
   = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2

Ainsi, nous avons démontré que (a+b) (a−b) = a2 − b2

• Illustration

Imaginons que a = 5 et b = 3. En utilisant l’identité, nous pouvons voir que : a2 − b2 = 5^2−3^2 = 25 − 9 = 16

D’autre part : (a+b) (a−b) = (5+3) (5−3) = 8 × 2 = 16

Les deux méthodes donnent le même résultat, confirmant l’égalité.

• Applications

Voici quelques exercices pratiques pour illustrer son utilisation.

Exemples pratiques

1. Calcul d’aires : Pour déterminer l’aire d’une forme géométrique complexe, les identités remarquables peuvent simplifier les calculs. Par exemple, pour une différence de deux carrés de côtés a et b, celle-ci permet de factoriser facilement l’expression.
2. Simplification : Lorsqu’on rencontre une expression comme 49 – 36, on peut reconnaître qu’il s’agit de (7^2 – 6^2). En utilisant l’identité, on peut réécrire cela en (7 + 6)(7 – 6) = 13 x 1 = 13, ce qui simplifie.
3. Résolution : Pour résoudre une équation de type x^2 – 9 = 0, on peut factoriser directement : x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3) = 0

Les solutions sont donc x = 3 et x = -3.

Problèmes à résoudre

1. Exercice : Développer (y – 5)(y + 5) en utilisant l’identité remarquable.

   – Solution : (y – 5)(y + 5) = y^2 – 25

2. Exercice de factorisation : z^2 – 64.

   –  Solution :  z^2 – 64 = (z + 8)(z – 8)

3. Exercice : Résoudre l’équation x^2 – 49 = 0.

   – Solution : x^2 – 49 = (x + 7)(x – 7) = 0

     Les solutions sont donc x = 7 et x = -7.

Nous avons étudié les trois identités remarquables et leurs utilités en mathématiques. La première, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, permet de développer et de simplifier des énoncés quadratiques. La deuxième, (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2, est utilisée pour les mêmes fins mais en soustraction.

Enfin, la troisième, a^2 – b^2 = (a + b)(a – b), permet de factoriser la différence de deux carrés, facilitant ainsi la résolution d’équations et la simplification d’expressions.

Comprendre et maîtriser ces formules vous permettra de progresser en mathématiques, car elles constituent la base de nombreux calculs. En connaissant ces identités remarquables, vous pouvez résoudre des problèmes plus rapidement, mais aussi mieux comprendre les propriétés des fonctions et des équations de second degré.