Identités remarquables au cube : comment les travailler ?

Au programme à partir de la 3ème, en fin de collège 🏫, apprenez à maîtriser ces formules qui vous serviront à accélérer les calculs, simplifier certaines écritures mathématiques ou encore à factoriser et développer des expressions.

Les identités remarquables simples en mathématiques, notamment celles aux cubes, sont essentielles pour les étudiants en enseignement secondaire et en classes préparatoires. Ces formules permettent de factoriser des expressions algébriques de manière plus efficace et plus lisible. 👨‍🏫👩‍🏫

Par exemple, l’identité remarquable du cube de la somme (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ et du cube de la différence (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ servent à factoriser des polynômes. La compréhension et l’utilisation de ces formules sont nécessaires pour aborder des concepts plus avancés dans les cursus universitaires, les grandes écoles, et les filières DUT. 🏫

La maîtrise des identités remarquables est également nécessaire pour réussir dans des matières telles que l’algèbre, où la factorisation de trinômes et l’évaluation de produits sont fréquentes. Les identités remarquables au cube permettent aussi de saisir la notion de coefficients et de degrés dans un polynôme, et leur utilisation dans les exercices renforce la compréhension des anneaux et des puissances en algèbre.

Prenons la première identité remarquable, le cube de la somme : (a + b)³. Pour démontrer cette égalité, suivons les étapes suivantes :

1. Développement de l’expression : On commence par écrire le cube de la somme sous forme de produit : (a + b)³ = (a + b) * (a + b) * (a + b).

2. Application de la distributivité : Utilisons la propriété distributive pour développer le produit : (a + b) * (a + b) = a² + 2ab + b². Ensuite, multiplions ce résultat par (a + b) : (a² + 2ab + b²) (a + b).

3. Développement final : Continuons en appliquant la distributivité pour chaque terme :

   a²(a + b) + 2ab(a + b) + b²(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³.

4. Simplification : Regroupons les termes similaires pour obtenir la forme finale :

   a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Pour la différence de cube, (a – b)³, le processus est similaire, en remplaçant b par -b :

(a – b)³ = (a – b) * (a – b) * (a – b) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

La maîtrise des identités remarquables est une compétence indispensable dès la 3ème et le lycée puis pour les cursus post-bac et les études supérieures, ouvrant la voie à une spécialisation en mathématiques, physique, ingénierie et autres domaines scientifiques. 👨‍🔬👩‍🔬

Voici quelques exemples d’applications pratiques :

1. 👉 Factorisation de polynômes : Les identités remarquables permettent de factoriser des polynômes de degré trois. Par exemple, pour factoriser un trinôme comme a³ + 3a²b + 3ab² + b³, on reconnaît l’identité remarquable de la somme : (a + b)³. Cette méthode simplifie considérablement les calculs et réduit les erreurs.

2. 👉 Résolution d’équations algébriques : En utilisant ces identités, les étudiants peuvent résoudre des équations cubiques en les transformant en expressions plus simples. Cela est particulièrement utile dans les cours d’algèbre et les examens de baccalauréat.

3. 👉 Calculs rapides : Les identités remarquables facilitent les calculs mentaux en décomposant des expressions complexes en termes plus simples. Par exemple, connaître que (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ permet de calculer rapidement des puissances de binômes sans devoir multiplier chaque terme manuellement.

4. 👉 Applications géométriques : Les identités remarquables sont également utiles en géométrie pour calculer des volumes et des aires. Par exemple, la formule du cube peut être utilisée pour trouver le volume d’un cube dont les côtés sont composés de deux segments.

5. 👉 Développement et simplification de séries : Ces identités permettent aussi de développer et simplifier des séries algébriques.

La maîtrise des identités remarquables au cube passe par la pratique à travers des exercices et exemples. 💪

Un exercice courant consiste à factoriser des expressions en utilisant les identités remarquables au cube. Par exemple, il peut vous être demandé de factoriser des trinômes tels que a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³ en identifiant d’abord les termes communs et en les réorganisant selon l’identité du cube de la somme. 

Les exercices d’application directe des identités remarquables au cube sont également fréquents dans les cours de mathématiques. Les étudiants peuvent être amenés à résoudre des équations cubiques en utilisant ces identités, ou à simplifier des expressions complexes impliquant des puissances de binômes. 

Les exemples concrets sont également utiles pour illustrer l’application des identités remarquables au cube. Par exemple, on peut présenter des situations où la factorisation de polynômes cubiques est nécessaire pour résoudre des problèmes de géométrie ou d’ingénierie. Ces exemples montrent aux étudiants l’utilité pratique de ces identités au-delà du cadre académique.

Mémoriser les identités remarquables au cube peut sembler un défi pour de nombreux étudiants, mais quelques astuces simples 🧠 peuvent rendre ce processus beaucoup plus facile. Tout d’abord, il est utile de comprendre la logique derrière ces identités. En comprenant le développement de ces formules, il devient plus facile de se rappeler les expressions exactes.

Une méthode mnémotechnique courante consiste à associer chaque identité remarquable à une image mentale ou à une histoire. 🖼️ Par exemple, pour se rappeler l’identité du cube de la somme (a + b)³, on peut imaginer deux amis (a et b) se tenant la main et formant une équipe pour résoudre un problème difficile, ce qui illustre la notion de somme. Pour l’identité du cube de la différence (a – b)³, on peut visualiser deux adversaires se tenant face à face, représentant la notion de différence.

Les associations visuelles peuvent également être renforcées par des moyens auditifs, tels que la création de rimes ou de chansons pour chaque identité remarquable. 🎶 Chanter une petite chanson ou réciter une phrase mnémotechnique peut aider à ancrer ces formules dans la mémoire à long terme.

Enfin, créer des fiches de révision ✍️ ou des aides-mémoire avec les identités remarquables et les principaux points à retenir peut être très utile.

Dans l’apprentissage des identités remarquables au cube, certains pièges et erreurs sont courants. L’une des erreurs les plus fréquentes est de confondre 😬 les différentes identités remarquables ou de les appliquer de manière incorrecte. Par exemple, il est important de ne pas confondre l’identité du cube de la somme avec celle du cube de la différence, car cela entraînera des résultats incorrects dans vos calculs.

Une autre erreur est de ne pas vérifier les calculs. 📲 Il est essentiel de prendre ce temps pour éviter les erreurs de calcul et les résultats incorrects.

Une troisième erreur courante est de ne pas reconnaître les opportunités d’appliquer les identités remarquables dans des problèmes donnés. Il est important de développer une pratique régulière 🔂 pour reconnaître les expressions qui peuvent être factorisées à l’aide de ces identités.

1. Cours de Mathématiques : Suivre des cours structurés, en ligne sur Wooskill, ou en présentiel, que vous soyez au collège, lycée ou dans le cadre de classes préparatoires, DUT, ou grandes écoles, vous permettra de comprendre ou développer vos compétences des identités remarquables et leur application.

2. Livres de Mathématiques : Utiliser des manuels spécialisés avec des explications détaillées, des exemples, et des exercices pour maîtriser chaque identité.

3. Calculatrices Graphiques : Utiliser des calculatrices capables de résoudre des équations et de factoriser des polynômes pour vérifier vos résultats et ainsi comprendre vos calculs.

4. Groupes d’Étude : Certains établissements mettent en place des des groupes d’étude où vous pouvez discuter des méthodes de résolution, partager des avis, et s’entraider avec vos camarades.

5. Professeurs et Tuteurs : Solliciter l’aide de professeurs ou de tuteurs pour des explications personnalisées à vos besoins.

6. Fiches de Révision : Créer des fiches de révision qui résument les principales identités remarquables, leurs propriétés, et des exemples d’utilisation vous aideront à vous familiariser à son utilisation.

Énoncé :

Factorisez l’expression algébrique suivante en utilisant les identités remarquables :  x^3 + 8 

Instructions :

1. Identifiez la formule d’identité remarquable appropriée pour la factorisation d’une somme de cubes.
2. Appliquez cette formule pour factoriser l’expression donnée.
3. Simplifiez les termes si nécessaire.

Solution :

Étape 1 : Identifiez la formule d’identité remarquable

Nous reconnaissons que l’expression donnée ( x^3 + 8) est une somme de cubes. En algèbre, la formule d’identité remarquable pour la somme de cubes est :  

[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)]

Étape 2 : Appliquez la formule

Dans l’expression ( x^3 + 8), nous avons :  

[a = x]  

[b = 2]  (car (2^3 = 8)

En utilisant l’identité remarquable :  

[ x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)]

Étape 3 : Simplifiez les termes

L’expression factorisée est donc :  

[x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)]

Vérification :

Pour vérifier la factorisation, développons le produit :  

[(x + 2)(x^2 – 2x + 4)]

Appliquons la méthode de distribution :  

[x(x^2 – 2x + 4) + 2(x^2 – 2x + 4)]  

[= x^3 – 2x^2 + 4x + 2x^2 – 4x + 8]  

[= x^3 + 8]

Nous retrouvons bien l’expression initiale, confirmant que la factorisation est correcte. ✅

Entrainez vous avec des types d’identités remarquables au cube, comme l’identité remarquable a3-b3 ou l’exercice 21 qui vous fera progresser dans votre réflexion et votre approche mathématique.

Avec l’identité a3+b3, vous aurez aussi une autre vision des identités remarquables.