Comprendre l’identité remarquable a3 + b3

Apprenez à maîtriser ces formules mathématiques qui vous serviront à gagner du temps lors de certains de vos calculs 🖩, simplifier certaines écritures mathématiques ou encore à factoriser et développer des expressions.

Les identités remarquables sont des outils essentiels en mathématiques, surtout pour les étudiants en troisième qui se préparent au brevet. Parmi ces identités, l’une des plus importantes est l’identité remarquable de la somme de cubes : a^3 + b^3. 

Cette expression peut être factorisée en (a + b)(a^2 – ab + b^2), une formule qui illustre la distributivité et simplifie les calculs algébriques. Comprendre cette identité remarquable permet de résoudre plus facilement des équations complexes et de développer des expressions littérales dans les mathématiques. ✅

Elle est également utilisée pour démontrer des égalités et simplifier des termes dans des calculs de degré supérieur. En cours de maths, la maîtrise des identités remarquables aide les élèves à factoriser rapidement et à voir les liens entre les différentes expressions, ce qui est souvent nécessaire pour de nombreux exercices et examens. 📝

De plus, ces formules sont une base solide pour les études supérieures en classes préparatoires, DUT, ou grandes écoles, où des concepts plus avancés seront abordés.

La démonstration de l’identité remarquable a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) est un excellent exercice pour comprendre les bases des mathématiques en troisième. 🏫

Pour commencer, on développe l’expression (a + b)(a^2 – ab + b^2) en utilisant la distributivité : (a + b) (a^2 – ab + b^2).

On applique ensuite la multiplication terme à terme, en prenant soin de distribuer chaque membre correctement. Ainsi, a x a^2 + a x (-ab) + a x b^2 + b x a^2 + b x (-ab) + b x b^2 se simplifie en a^3 – a^2b + ab^2 + a^2b – ab^2 + b^3. 

En regroupant les termes semblables, on obtient finalement a^3 + b^3, prouvant l’égalité. 

Cette méthode de démonstration permet aux étudiants, qu’ils soient au collège, lycée ou études supérieures de comprendre comment factoriser des expressions et simplifier des équations. Ces compétences sont essentielles non seulement pour réussir le brevet, mais aussi pour aborder les cours de mathématiques en classes préparatoires, DUT, ou grandes écoles après le baccalauréat. 

La maîtrise des identités remarquables peut vous permettre de viser diverses filières comme les sciences, l’ingénierie, et l’économie. 👨‍🔬👩‍🔬

Pour maîtriser l’identité remarquable a^3 + b^3, il est essentiel de s’exercer régulièrement 🔂 afin de comprendre les différentes étapes de factorisation. 

Comme nous l’avons vu, cette identité se factorise en (a + b)(a^2 – ab + b^2). Par exemple, pour factoriser 8x^3 + 27, on identifie 8x^3 comme (2x)^3 et 27 comme 3^3, ce qui nous donne (2x + 3)(2x)^2 – 2x x 3 + 3^2), soit (2x + 3)(4x^2 – 6x + 9). 

Cette méthode de développement et de simplification montre l’importance de la distributivité et de la manipulation des termes dans les expressions littérales.

Les exercices pour pratiquer incluent des problèmes tels que factoriser x^3 + 1 en (x + 1)(x^2 – x + 1) ou simplifier 64y^3 + 125.

Lors de l’utilisation de l’identité remarquable a^3 + b^3, les étudiants font souvent quelques erreurs courantes qu’il est important de connaître et de corriger. 

👉 L’une d’entre elles est de mal appliquer la formule de factorisation, qui est (a + b)(a^2 – ab + b^2). Par exemple, certains élèves pourraient oublier la distributivité correcte ou mal placer les parenthèses, faussant le résultat. 

👉 En cours de troisième, une autre erreur typique est la confusion entre les identités remarquables, comme mélanger a^3 + b^3 avec a^3 – b^3. Pour éviter cela, il est essentiel de mémoriser les formules et de vérifier chaque étape du calcul. 

Par exemple, pour factoriser 8x^3 + 27, il faut reconnaître que 8x^3 est (2x)^3 et 27 est 3^3, puis appliquer correctement la formule pour obtenir (2x + 3)(4x^2 – 6x + 9).

👉 Il est également important de faire attention aux signes des termes lors du développement des expressions et utiliser la distributivité avec précision. Une erreur de signe ou de multiplication faussera le résultat final. Pour éviter cela, il est essentiel de pratiquer régulièrement et de vérifier les calculs plusieurs fois. Par exemple, factoriser x^3 + 8 en (x + 2)(x^2 – 2x + 4) demande de suivre attentivement chaque étape.

Pour tester vos connaissances sur l’identité remarquable, essayez de résoudre les exercices suivants en quelques minutes. 

1. Factorisation de l’expression : 27x^3 + 8. Indice : Identifiez les cubes parfaits.

2. Équations : Résolvez x^3 + 27 = 0. Utilisez l’identité remarquable pour factoriser et trouver les solutions réelles.

3. Calcul de produits : Vérifiez la distributivité en développant (x + 2)(x^2 – 2x + 4) et montrez que cela revient à x^3 + 8.

4. Applications numériques : Factorisez l’expression 64 + 125 en utilisant des nombres entiers et appliquez la formule.

Voici les réponses pour chaque exercice :

1. Factorisation de l’expression :

Pour factoriser l’expression 27x^3 + 8, nous remarquons que 27x^3 est un cube parfait ((3x)^3) et 8 est également un cube parfait (2^3). 

Donc, nous utilisons l’identité remarquable a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) pour obtenir :

27x^3 + 8 = (3x)^3 + 2^3

                 = (3x + 2)(3x)^2 – 3x x 2 + 2^2

                 = (3x + 2)(9x^2 – 6x + 4).

2. Équations :

Pour résoudre l’équation x^3 + 27 = 0, nous utilisons la factorisation de a^3 + b^3. 

Donc : x^3 + 27 = 0 

           (x)^3 + (3)^3 = 0 

           (x + 3)(x)^2 – x x 3 + 3^2) = 0 

           (x + 3)(x^2 – 3x + 9) = 0

Pour que le produit soit nul, l’un des facteurs doit être nul : x + 3 = 0 ou x^2 – 3x + 9 = 0.

La première équation donne x = -3. Pour la deuxième équation, il n’existe pas de solution réelle car le discriminant est négatif.

3. Calcul de produits : 

En développant (x + 2)(x^2 – 2x + 4), nous obtenons : (x + 2)(x^2 – 2x + 4)

= x(x^2 – 2x + 4) + 2(x^2 – 2x + 4) 

= x^3 – 2x^2 + 4x + 2x^2 – 4x + 8 

= x^3 + 8

Nous avons donc démontré que (x + 2)(x^2 – 2x + 4) est égal à x^3 + 8.

4. Applications numériques :

Pour factoriser l’expression 64 + 125, nous remarquons que 64 est un cube parfait (4^3) et 125 est également un cube parfait (5^3). Donc :

   64 + 125 = 4^3 + 5^3

= (4 + 5)(4^2 – 4 x 5 + 5^2)

= (9)(16 – 20 + 25) 

= 9 x 21

= 189

Comment avez-vous performé ? Si vous avez eu du mal, ne vous inquiétez pas ! Pratiquez quelques exercices supplémentaires pour renforcer votre compréhension. Vous pouvez également faire appel à un professeur pour un cours particulier sur la plateforme de Wooskill.