Exercice de calcul d’identité remarquable : différence de cube – Exercice 23

A travers cet exercice de mathématiques, nous allons revoir comment factoriser la formule algébrique.

En maths, il y a des formules qui reviennent souvent, surtout quand on travaille sur les expressions algébriques. Parmi elles, les identités remarquables occupent une place importante : elles permettent de factoriser rapidement certains types d’expressions, sans avoir à passer par un développement complet. Et ce genre de raccourci, ça fait gagner du temps et des points dans les contrôles 👌

Dans cet exercice, on va s’intéresser à une forme un peu moins connue que les classiques (a + b)^2 ou (a – b)^2, mais tout aussi utile : la différence de cubes, c’est-à-dire une expression qui peut s’écrire sous la forme (a – b)^3. Si tu sais repérer cette structure, tu pourras factoriser facilement des expressions polynômiales plus complexes.

C’est justement ce qu’on va voir ensemble ici, avec l’expression suivante à factoriser :

8x³ – 12x² + 6x – 1.

Est-ce qu’elle peut s’écrire sous forme factorisée ? Et si oui, comment reconnaître la bonne identité remarquable ?

En te familiarisant avec cette identité remarquable au cube, tu pourras renforcer tes compétences en algèbre. Tu gagneras ainsi en confiance dans tes cours de mathématiques quand tu étudieras une identité remarquable.

Tu vas découvrir ça étape par étape, avec une méthode claire et un résultat à vérifier à la fin ✅

Tu es prêt(e) à te lancer ? Voici l’expression qu’on va travailler ensemble aujourd’hui :

8x³ – 12x² + 6x – 1

Ta mission : la factoriser en utilisant une identité remarquable.

Mais attention, il ne s’agit pas d’un simple carré ou d’un produit classique. Ici, on est face à une expression un peu plus subtile, qui cache une structure en cube. Et plus précisément, une différence de cubes.

Avant de lire l’explication, prends quelques minutes pour observer l’expression :

• Est-ce qu’un terme en cube te saute aux yeux ?
• Y a-t-il un facteur commun ?
• Est-ce que tu reconnais la forme d’un développement connu ?

Si tu bloques, ce n’est pas grave ! L’important, c’est d’essayer de repérer une logique ou une répétition dans les coefficients. Tu verras ensuite que tout prend sens quand on regarde la formule (a – b)^3.

👉 Allez, pose ton crayon, essaye de factoriser, et ensuite viens comparer ta réponse avec l’explication juste en dessous.

Pour simplifier l’expression 8x^3−12x²+6x−1, nous cherchons à la factoriser en utilisant l’identité remarquable de la différence de cubes.

Nous commençons par reconnaître que l’expression peut être associée à la forme (a – b)^3.

Nous savons que (a−b)^3=a^3−3a²b+3ab²−b^3.

Maintenant que tu as sous les yeux l’expression 8x³ – 12x² + 6x – 1, on va essayer de voir si elle correspond à une forme bien connue.

Parmi les identités remarquables, tu te souviens peut-être de celle-ci :

(a−b)3 = a^3 − 3a^2 b + 3ab^2 − b^3

La factorisation en différence du cube

Cette formule peut paraître un peu longue au début, mais une fois que tu sais l’identifier dans une expression, elle devient une vraie astuce de simplification.

Revenons à notre expression :

8x³ – 12x² + 6x – 1

Tu vois ce qui se passe ? Chaque terme correspond à une pièce du puzzle. Il suffit maintenant de remonter à a et b.

• Pour a3=8, on en déduit que a=2xa
• Pour −b^3= −1, on a donc b=1
• Ensuite, on vérifie que les deux autres termes correspondent bien avec ces valeurs :
  • −3a^2b = −3(2x)^2 (1) = -12x^2
  • 3ab^2 = 3(2x) (1)^2 = 6x

Tout colle ✅

On peut donc affirmer que l’expression donnée est en fait le développement de (2x−1)^3

Tu l’as compris dans l’étape précédente : l’expression 8x³ – 12x² + 6x – 1 correspond exactement au développement de la formule (a−b)3, avec a=2x et b=1.

On peut donc factoriser l’expression de la manière suivante :

8×3−12×2+6x−1=(2x−1)3

Résultat de la factorisation

Et voilà ! Tu viens de simplifier un polynôme de degré 3 grâce à une identité remarquable 🧠

Pas besoin de diviser ou de passer par un tableau : une simple reconnaissance de la forme te permet d’aller droit au but.

Comment vérifier ton résultat ?

Si tu veux t’assurer que ta factorisation est correcte, tu peux faire l’opération inverse : développer (2x−1)^3.

Voyons :

(2x−1)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2 (1) + 3(2x (1)^2 – 1^3

= 8x^3 – 12x^2 + 6x -1

✔️ Tout correspond parfaitement ! C’est donc bien le bon résultat.

Si tu as besoin d’aide pour approfondir les identités remarquable, n’hésites pas à contacter un des professeurs de mathématique sur notre plateforme pour prendre un cours en ligne avec lui ! Tu pourras retrouver de nombreux professeurs de soutien scolaire sur Wooskill !